Primo Ordine Mobile Media Processo

4.2 Modelli stazionari lineari per Time Series in cui la variabile casuale è chiamato innovazione perché rappresenta la parte della variabile osservato che è imprevedibile dati i valori passati. Il modello generale (4.4) presuppone che è l'uscita di un filtro lineare che trasforma le innovazioni ultime, cioè, è un processo lineare. Questa ipotesi di linearità si basa sulla decomposizione teorema Wolds (Wold 1938) che dice che qualsiasi processo covarianza stazionario discreto può essere espresso come somma di due processi non correlati, dove è puramente deterministico è un processo puramente indeterministica che può essere scritta come lineare somma del processo di innovazione: dove è una sequenza di variabili casuali serialmente non correlati con media nulla e varianza comune. Condizione necessaria per la stazionarietà. La formulazione (4.4) è una riparametrizzazione finito di rappresentazione infinita (4.5) - (4.6) con la costante. Di solito è scritto in termini dell'operatore lag definita da, che dà un'espressione più breve: dove i polinomi operatore lag e sono chiamati rispettivamente polinomiale e il polinomio,. Al fine di evitare la ridondanza parametro, assumiamo che non ci sono fattori comuni tra il ei componenti. Successivamente, studieremo la trama di alcune serie storiche generate da modelli fissi con l'obiettivo di determinare i principali modelli della loro evoluzione temporale. Figura 4.2 comprende due serie generato dai seguenti processi stazionari calcolate mediante l'quantlet genarma: Figura 4.2: Serie temporale generati dai modelli Come previsto, entrambe le serie mossa volta un livello costante senza cambiamenti nella varianza dovute alla struttura stazionaria. Inoltre, questo livello è vicino alla media teorica del processo, e la distanza di ciascun punto di questo valore è molto raramente fuori dei limiti. Inoltre, l'evoluzione della serie mostra partenze locali dalla media del processo, che è conosciuto come il comportamento reversione medio che caratterizza la serie temporale stazionaria. Studiamo con qualche dettaglio le proprietà dei diversi processi, in particolare, la funzione autocovarianza che cattura le proprietà dinamiche di un processo stocastico stazionario. Questa funzione dipende dalle unità di misura, in modo usuale misura del grado di linearità tra variabili è il coefficiente di correlazione. Nel caso di processi stazionari, il coefficiente di autocorrelazione al ritardo, indicato con, è definita come la correlazione tra e: Pertanto, la funzione di autocorrelazione (ACF) è la funzione autocovarianza standardizzate dalla varianza. Le proprietà della ACF sono: Data la proprietà di simmetria (4.10), l'ACF è di solito rappresentato per mezzo di un grafico a barre ai ritardi non negativi che si chiama la semplice correlogramma. Un altro strumento utile per descrivere le dinamiche di un processo stazionario è la funzione di autocorrelazione parziale (PACF). Il coefficiente di autocorrelazione parziale lag misura l'associazione lineare tra e rettificato degli effetti dei valori intermedi. Pertanto, è solo il coefficiente nel modello di regressione lineare: Le proprietà del PACF sono equivalenti a quelli della ACF (4.8) - (4.10) ed è facile dimostrare che (Box e Jenkins 1976). Come l'ACF, la funzione di autocorrelazione parziale non dipende dalle unità di misura ed è rappresentata per mezzo di un grafico a barre i ritardi non negativi che si chiama correlogramma parziale. Le proprietà dinamiche di ogni modello stazionario determinano una particolare forma dei correlogrammi. Inoltre, si può dimostrare che, per qualsiasi processo stazionario, entrambe le funzioni, ACF e PACF, approccio a zero quando il ritardo tende all'infinito. I modelli non sono sempre processi stazionari, per cui è necessario prima di determinare le condizioni di stazionarietà. Ci sono sottoclassi di modelli che hanno proprietà particolari così li studieremo separatamente. Così, quando e, è un processo rumore bianco. quando, è una pura movimento processo media dell'ordine. , E quando si tratta di un processo autoregressivo puro dell'ordine. . 4.2.1 White Noise Process Il modello più semplice è un processo di rumore bianco, dove si trova una sequenza di zero non correlati significa variabili con la varianza costante. Si è indicato con. Questo processo è stazionario se la varianza è finita,, dal momento che: condizioni verifica (4.1) - (4.3). Inoltre, non è correlata con il tempo, quindi la sua funzione di autocovarianza è: figura 4.7 mostra due serie storiche simulate generate dai processi con media zero e parametri e -0.7, rispettivamente. Il parametro autoregressivo misura la persistenza di eventi passati nei valori correnti. Ad esempio, se positivo (o negativo) Shock influenza positivamente (o negativamente) per un periodo di tempo che è più lungo più grande è il valore di. Quando la serie si muove più o meno intorno alla media per l'alternarsi nella direzione dell'effetto di, cioè, uno shock che influenza positivamente nel momento, ha effetti negativi sulla, positivi. Il processo è sempre invertibile ed è stazionaria quando il parametro del modello è vincolato a giacere nella regione. Per dimostrare la condizione stazionaria, prima scriviamo il sotto forma media mobile per sostituzione ricorsiva di a (4.14): Figura 4.8: correlogrammi popolazione per i processi che è, è una somma ponderata delle innovazioni del passato. I pesi dipendono dal valore del parametro: quando, (o), l'influenza di un dato aumenta innovazione (o diminuisce) nel tempo. Facendo affidamento a (4.15) per calcolare la media del processo, otteniamo: Dato che, il risultato è una somma di infiniti termini che converge per ogni valore di solo se, in questo caso. Un problema simile appare quando si calcola il secondo momento. La prova può essere semplificata assumendo che, cioè. Poi, varianza è: in questo caso, la varianza va all'infinito eccezione, nel qual caso. È facile verificare che sia la media e la varianza esplodono quando quella presa condizioni doesnt. La funzione autocovarianza di un processo stazionario è Di conseguenza, la funzione di autocorrelazione per il modello fisso è: Cioè, il correlogramma mostra un decadimento esponenziale con valori positivi sempre se è positivo e con oscillazioni negativo-positivo, se è negativo (vedi figura 4.8). Inoltre, il tasso di decadimento diminuisce all'aumentare, quindi maggiore è il valore della forte correlazione dinamica del processo. Infine, vi è un cutoff nella funzione di autocorrelazione parziale al primo ritardo. Figura 4.9: correlogrammi popolazione per i processi si può dimostrare che il processo generale (Box e Jenkins 1976): è fermo solo se le radici della equazione caratteristica della menzogna polinomiale di fuori del cerchio unitario. La media di un modello stazionario è. È sempre invertibile per valori dei parametri La sua posizione ACF va a zero esponenzialmente quando le radici di siano reali o con fluttuazioni onda sinusoidale coseno quando sono complex. Its PACF ha un cutoff al ritardo, cioè. Alcuni esempi di correlogrammi per i modelli più complessi, come la, può essere visto in figura 4.9. Essi sono molto simili ai modelli quando i processi hanno radici reali, ma richiedono una forma molto diversa quando le radici sono complesse (vedere la prima coppia di grafici di figura 4.9). 4.2.4 Autoregressive Il autoregressivo generale (finito-ordine) modello a media mobile di ordini di modello a media mobile, è: i processi autoregressivi a media mobile di errore (ARMA errori) e altri modelli che coinvolgono ritardi dei termini di errore possono essere stimati utilizzando istruzioni FIT e simulato o previsione utilizzando SOLVE dichiarazioni. modelli ARMA per il processo di errore sono spesso utilizzati per i modelli con residui autocorrelati. La macro AR può essere utilizzato per specificare i modelli con i processi di errore autoregressivi. La macro MA può essere utilizzato per specificare i modelli con i processi di errore a media mobile. Gli errori autoregressivi Un modello con errori autoregressivi di primo ordine, AR (1), ha la forma mentre un AR (2) processo di errore ha la forma e così via per i processi di ordine superiore. Si noti che le s sono indipendenti e identicamente distribuite e hanno un valore atteso di 0. Un esempio di un modello con un AR (2) componente e così via per processi di ordine superiore. Ad esempio, è possibile scrivere un semplice modello di regressione lineare con MA (2) errori di esempio dove MA1 e MA2 sono i parametri in movimento-media-media mobile. Si noti che RESID. Y è definito automaticamente dal PROC modello come la funzione ZLAG deve essere utilizzato per i modelli MA di troncare la ricorsione dei GAL. Questo assicura che gli errori ritardati partono da zero nella fase di latenza-priming e non si propagano valori mancanti quando le variabili fase di latenza-priming sono mancanti, e si assicura che i futuri errori sono pari a zero, piuttosto che mancare durante la simulazione o di previsione. Per ulteriori informazioni sulle funzioni di ritardo, vedere la logica sezione di Lag. Questo modello scritto utilizzando la macro MA è la seguente: generali Forma per i modelli ARMA ha può essere specificato il seguente modulo Un ARMA (p, q) Il modello generale processo ARMA (p, q) nel modo seguente: dove AR ie MA j rappresento i parametri autoregressivi e movimento-media per i vari ritardi. È possibile utilizzare qualsiasi nomi che si desidera per queste variabili, e ci sono molti modi equivalenti che la specifica potrebbe essere scritto. I processi di vettore ARMA possono essere stimati con PROC MODELLO. Ad esempio, un AR due variabili (1) Procedimento per gli errori del due variabili endogene Y1 e Y2 possono essere specificati come segue: Problemi di convergenza con ARMA modelli Modelli ARMA può essere difficile stimare. Se le stime dei parametri non sono all'interno della gamma del caso, un modelli di movimento-media durata residua crescono in modo esponenziale. I residui calcolati per osservazioni successive possono essere molto grandi oppure possono traboccare. Ciò può accadere sia perché i valori di avviamento errato sono stati utilizzati o perché le iterazioni allontanati dai valori ragionevoli. Si deve essere utilizzato nella scelta di valori iniziali per i parametri ARMA. valori di 0,001 inizio parametri ARMA solito funzionano se il modello si adatta il pozzo di dati e il problema è ben condizionata. Si noti che un modello MA spesso può essere approssimata da un modello AR di ordine superiore, e viceversa. Ciò può portare a alta collinearità in modelli misti ARMA, che a sua volta può causare gravi mal condizionata nei calcoli e l'instabilità delle stime dei parametri. In caso di problemi di convergenza, mentre la stima di un modello con i processi di errore ARMA, provare a stimare in passi. In primo luogo, utilizzare un'istruzione FIT per stimare solo i parametri strutturali con i parametri ARMA detenute sino a zero (o per le stime precedenti ragionevoli se disponibile). Successivamente, utilizzare un'altra dichiarazione FIT per stimare solo i parametri ARMA, utilizzando i valori dei parametri strutturali dalla prima esecuzione. Dal momento che i valori dei parametri strutturali sono suscettibili di essere vicini ai loro stime finali, i parametri stime ARMA potrebbero ora convergono. Infine, usare un'altra dichiarazione FIT per produrre stime simultanea di tutti i parametri. Poiché i valori iniziali dei parametri sono ora probabilmente molto vicino a loro stime congiunte finali, le stime dovrebbero convergere rapidamente se il modello è appropriato per i dati. AR condizioni iniziali i ritardi iniziali dei termini di errore di AR modelli (P) possono essere modellati in vari modi. L'errore metodi di avvio autoregressive supportati da procedure SASETS sono i seguenti: condizionali minimi quadrati (ARIMA e procedure modello) incondizionati minimi quadrati (autoreg, Arima, e le procedure di modello) di massima verosimiglianza (autoreg, Arima, e le procedure MODELLO) Yule-Walker (autoreg unico procedimento) Hildreth-Lu, che cancella le prime osservazioni p (procedura di modello), vedere il Capitolo 8, la procedura autoreg, per una spiegazione e discussione dei meriti dei vari metodi AR (p) di avvio. Le inizializzazioni CLS, ULS, ML e HL possono essere eseguite da PROC MODELLO. Per AR (1) errori, queste inizializzazioni possono essere prodotte come mostrato nella Tabella 18.2. Questi metodi sono equivalenti in grandi campioni. Tabella 18.2 Inizializzazioni Realizzate dal PROC modello AR (1) ERRORI i ritardi iniziali dei termini di errore di MA (q) i modelli possono anche essere modellati in modi diversi. Il seguente errore media mobile paradigmi di start-up sono supportati dal procedure modello ARIMA e: incondizionati minimi quadrati condizionali dei minimi quadrati Il condizionale metodo dei minimi quadrati per stimare termini di errore a media mobile non è ottimale perché ignora il problema di start-up. Questo riduce l'efficienza delle stime, pur rimanendo imparziale. I residui ritardati iniziali, estendendo prima dell'inizio dei dati, vengono considerati 0, il valore atteso incondizionata. Questo introduce una differenza tra questi residui e le generalizzate dei minimi quadrati residui per la covarianza media mobile, che, a differenza del modello autoregressivo, persiste attraverso il set di dati. Solitamente questa differenza converge rapidamente a 0, ma per processi a media mobile quasi noninvertible la convergenza è piuttosto lento. Per minimizzare questo problema, si dovrebbe avere un sacco di dati, e le stime dei parametri a media mobile dovrebbe essere ben all'interno della gamma invertibile. Questo problema può essere risolto a scapito di scrivere un programma più complesso. Unconditional minimi quadrati stime per la (1) processo MA possono essere prodotte specificando il modello come segue: gli errori di media mobile possono essere difficili da stimare. Si dovrebbe considerare l'utilizzo di una approssimazione AR (p) per il processo di media mobile. Un processo a media mobile di solito può essere ben approssimato da un processo autoregressivo se i dati non sono stati levigati o differenziata. La macro AR La macro AR SAS genera le istruzioni di programmazione per PROC MODELLO per i modelli autoregressivi. La macro AR fa parte del software SASETS, e nessuna opzione particolare deve essere impostato per utilizzare la macro. Il processo autoregressivo può essere applicato agli errori equazioni strutturali o alla serie endogena stessi. La macro AR può essere utilizzato per i seguenti tipi di autoregressione: senza restrizioni autoregressione vettoriale limitato autoregressione vettoriale univariata Autoregressione Per modellare il termine di errore di un'equazione come un processo autoregressivo, utilizzare la seguente dichiarazione dopo l'equazione: Per esempio, supponiamo che Y è un funzione lineare di X1, X2, e un (2) errore AR. Si potrebbe scrivere questo modello come segue: Le chiamate verso AR devono venire dopo tutte le equazioni che il processo applicato. Il precedente macro invocazione, AR (y, 2), produce le dichiarazioni indicate in uscita LISTA nella Figura 18.58. Figura 18.58 lista di output opzione per un AR (2) Modello La PRED prefisso variabili sono variabili del programma temporanei utilizzati in modo tale che i ritardi dei residui sono i residui corrette e non quelli ridefinito da questa equazione. Si noti che questo è equivalente alle dichiarazioni esplicitamente scritto nella sezione forma generale per i modelli ARMA. È inoltre possibile limitare i parametri autoregressivi a zero al GAL selezionati. Ad esempio, se si voleva parametri autoregressivi a ritardi 1, 12, e 13, è possibile utilizzare le seguenti istruzioni: Queste dichiarazioni generano l'output mostrato nella Figura 18.59. Figura 18.59 lista di output opzione per un modello AR con Ritardi a 1, 12, e 13 MODELLO procedura di quotazione di compilato Privacy Codice di programma come Parsed PRED. yab x1 c x2 RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. y PRED. y - y OLDPRED. y PRED. y yl1 ZLAG1 (y - PREDY) yl12 ZLAG12 (y - PREDY) yl13 ZLAG13 (y - PREDY) RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. y PRED. y - y ci sono variazioni sul metodo dei minimi quadrati condizionale, a seconda che osservazioni all'inizio della serie sono usati per riscaldare il processo AR. Per impostazione predefinita, il condizionale metodo dei minimi quadrati AR utilizza tutte le osservazioni e assume zeri per i ritardi iniziali dei termini autoregressivi. Utilizzando l'opzione M, è possibile richiedere che AR utilizzare i minimi quadrati incondizionati (ULS) o metodo della massima verosimiglianza (ML), invece. Ad esempio, discussioni di questi metodi è fornito nella sezione AR condizioni iniziali. Utilizzando l'opzione n MLCS, è possibile richiedere che i primi n osservazioni essere utilizzati per calcolare le stime dei ritardi autoregressivi iniziali. In questo caso, l'analisi inizia con l'osservazione n 1. Ad esempio: È possibile utilizzare la macro AR per applicare un modello autoregressivo alla variabile endogena, anziché al termine di errore, utilizzando l'opzione TYPEV. Ad esempio, se si desidera aggiungere i cinque ritardi passate di Y per l'equazione nell'esempio precedente, è possibile utilizzare AR per generare i parametri e ritardi utilizzando le seguenti istruzioni: Le istruzioni precedenti generano l'output mostrato nella Figura 18.60. Figura 18.60 lista di output opzione per un modello AR di Y Questo modello prevede Y come una combinazione lineare di X1, X2, un'intercettazione, ed i valori di Y nel più recente cinque periodi. Imprendibile autoregressione vettoriale per modellare i termini di errore di un insieme di equazioni come un processo autoregressivo vettoriale, utilizzare il seguente modulo della macro AR dopo le equazioni: Il valore ProcessName è un nome che si fornisce per AR da utilizzare nel fare i nomi per la autoregressivo parametri. È possibile utilizzare la macro AR per modellare diversi processi AR diversi per diversi insiemi di equazioni utilizzando i nomi di processo diversi per ogni set. Il nome del processo assicura che i nomi delle variabili utilizzati sono unici. Utilizzare un valore ProcessName breve per il processo se stime dei parametri devono essere scritti in un set di dati di uscita. La macro AR tenta di costruire nomi di parametri inferiori o uguali a otto caratteri, ma questa è limitata dalla lunghezza del ProcessName. che viene utilizzato come prefisso per i nomi dei parametri AR. Il valore variablelist è l'elenco delle variabili endogene per le equazioni. Ad esempio, supponiamo che errori per equazioni Y1, Y2, Y3 e sono generati da un processo vettoriale autoregressivo del secondo ordine. È possibile utilizzare le seguenti istruzioni: che generano i seguenti per Y1 e codice simile per Y2 e Y3: solo i minimi quadrati condizionali metodo (MLCS o MLCS n) possono essere utilizzati per i processi di vettore. È inoltre possibile utilizzare lo stesso modulo con restrizioni che la matrice dei coefficienti essere 0 a GAL selezionati. Ad esempio, le istruzioni seguenti valgono un processo vettoriale terzo ordine agli errori equazione con tutti i coefficienti a lag 2 limitato a 0 e con i coefficienti a ritardi 1 e 3 senza limitazioni: È possibile modellare la Y1Y3 tre serie come processo autoregressivo vettoriale nelle variabili anziché negli errori utilizzando l'opzione TYPEV. Se si vuole modellare Y1Y3 in funzione dei valori passati di Y1Y3 e alcune variabili esogene o costanti, è possibile utilizzare AR per generare le istruzioni per i termini di lag. Scrivere un'equazione per ogni variabile per la parte nonautoregressive del modello, e quindi chiamare AR con l'opzione TYPEV. Ad esempio, la parte nonautoregressive del modello può essere una funzione di variabili esogene, oppure può essere parametri di intercettazione. Se non vi sono componenti esogene al modello autoregressione vettoriale, inclusi senza intercettazioni, quindi assegnare zero a ciascuna delle variabili. Ci deve essere un'assegnazione a ciascuna delle variabili prima AR è chiamato. In questo esempio i modelli Y vettore (Y1 Y2 Y3) come una funzione lineare solo del suo valore negli ultimi due periodi e nero vettore errore di rumore. Il modello dispone di 18 (3 3 3 3) i parametri. Sintassi del Macro AR Ci sono due casi di sintassi della macro AR. Quando non sono necessarie restrizioni su un processo AR vettore, la sintassi della macro AR ha la forma generale specifica un prefisso per AR da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di AR. Se il endolist non viene specificato, l'elenco endogene default nome. che deve essere il nome dell'equazione a cui deve essere applicato il processo di errore AR. Il valore del nome non può superare i 32 caratteri. è l'ordine del processo AR. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo AR deve essere applicata. Se viene dato più di un nome, un processo vector illimitata viene creato con i residui strutturali di tutte le equazioni inclusi come regressori in ciascuna delle equazioni. Se non specificato, di default endolist dare un nome. specifica la lista di ritardi con cui i termini AR sono da aggiungere. I coefficienti dei termini a non GAL elencati sono impostati a 0. Tutti i GAL elencati deve essere inferiore o uguale a nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, le impostazioni predefinite laglist a tutti i GAL 1 a nlag. specifica il metodo di stima da implementare. I valori validi di M sono CLS (condizionali minimi quadrati stime), ULS (incondizionati minimi quadrati stime), e ML (stime di massima verosimiglianza). MLCS è l'impostazione predefinita. Solo MLCS è consentito quando viene specificato più di una equazione. I metodi ULS e ML non sono supportati per i modelli vettore AR da AR. specifica che il processo AR deve essere applicata alle variabili endogene stessi anziché ai residui strutturali delle equazioni. Limitato autoregressione vettoriale È possibile controllare quali parametri sono inclusi nel processo, limitandosi a 0 quei parametri che non non include. In primo luogo, utilizzare AR con l'opzione DEFER per dichiarare l'elenco delle variabili e definire la dimensione del processo. Poi, uso supplementare AR chiama per generare i termini per equazioni selezionati con variabili selezionate al GAL selezionati. Ad esempio, le equazioni di errore prodotti sono i seguenti: Questo modello afferma che gli errori di Y1 dipendono errori sia di Y1 e Y2 (ma non Y3) sia in ritardo rispetto 1 e 2, e che gli errori di Y2 e Y3 dipendono gli errori precedenti per tutte e tre le variabili, ma solo in ritardo 1. AR Macro sintassi per ristretta vettore AR un uso alternativo di AR è consentito di imporre restrizioni su un processo AR vettore chiamando AR più volte per specificare diversi termini AR e rallentamenti per diversi equazioni. La prima chiamata ha la forma generale specifica un prefisso per AR da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di AR vettore. specificare l'ordine del processo AR. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo AR deve essere applicata. specifica che AR non è quello di generare il processo di AR, ma è quello di attendere ulteriori informazioni di cui in seguito AR richiede lo stesso valore del nome. Le chiamate successive hanno la forma generale è la stessa come nella prima chiamata. specifica l'elenco di equazioni per cui specifiche in questa chiamata AR da applicare. Solo nomi specificati nel valore endolist del primo invito a presentare il valore del nome possono apparire nella lista di equazioni in eqlist. Specifica l'elenco di equazioni la cui ritardata strutturale residui devono essere inclusi come regressori nelle equazioni in eqlist. Solo i nomi nel endolist del primo invito a presentare il valore del nome possono apparire nella lista-variabili. Se non specificato, di default lista-variabili a endolist. specifica la lista di ritardi con cui i termini AR sono da aggiungere. I coefficienti dei termini in ritardi non elencati sono impostati a 0. Tutti i ritardi elencati devono essere minore o uguale al valore di nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, di default laglist a tutti i GAL 1 a nlag. La macro MA La macro MA SAS genera le istruzioni di programmazione per PROC modello per i modelli in movimento-media. La macro MA è parte del software SASETS, e senza opzioni speciali sono necessarie per utilizzare la macro. Il processo di errore a media mobile può essere applicato agli errori equazioni strutturali. La sintassi della macro MA è la stessa della macro AR eccezione che non c'è argomentazione TYPE. Quando si utilizza il MA e macro AR combinati, la macro MA deve seguire la macro AR. Le seguenti dichiarazioni SASIML producono una ARMA (1, (1 3)) processo di errore e salvarlo nella MADAT2 set di dati. Le seguenti dichiarazioni PROC modello vengono utilizzati per stimare i parametri di questo modello, utilizzando la massima struttura di errore verosimiglianza: Le stime dei parametri prodotti da questa corsa sono illustrati nella Figura 18.61. Figura 18.61 Le stime da un ARMA (1, (1 3)) processo ci sono due casi di sintassi per la macro MA. Quando non sono necessarie restrizioni su un processo MA vettore, la sintassi della macro MA ha la forma generale specifica un prefisso per MA da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo di MA ed è il endolist predefinita. è l'ordine del processo MA. specifica le equazioni per cui il processo MA deve essere applicato. Se viene dato più nomi, la stima CLS viene utilizzato per il processo vettoriale. specifica i ritardi con cui i termini MA sono da aggiungere. Tutti i ritardi di cui deve essere minore o uguale a nlag. e non ci devono essere duplicati. Se non specificato, le impostazioni predefinite laglist a tutti i GAL 1 a nlag. specifica il metodo di stima da implementare. I valori validi di M sono CLS (condizionali minimi quadrati stime), ULS (incondizionati minimi quadrati stime), e ML (stime di massima verosimiglianza). MLCS è l'impostazione predefinita. Solo MLCS è consentita quando più di una equazione è specificato nel endolist. MA Macro Sintassi per ristretta Vector media mobile un uso alternativo di MA è permesso di imporre restrizioni su un processo MA vettore chiamando MA più volte per specificare diversi termini MA e ritardi per le diverse equazioni. La prima chiamata ha la forma generale specifica un prefisso per MA da utilizzare nella costruzione di nomi di variabili necessarie per definire il processo MA vettore. specificare l'ordine del processo MA. specifica l'elenco di equazioni in cui il processo MA deve essere applicata. specifica che MA non è quello di generare il processo MA, ma è quello di attendere ulteriori informazioni di cui in seguito MA richiede lo stesso valore del nome. Le chiamate successive hanno la forma generale è la stessa come nella prima chiamata. specifica l'elenco di equazioni per cui specifiche in questa chiamata MA da applicare. Specifica l'elenco di equazioni la cui ritardata strutturale residui devono essere inclusi come regressori nelle equazioni in eqlist. specifica la lista di ritardi con cui i termini MA devono essere added. Autoregressive simulazione a media mobile (primo ordine) La manifestazione è impostato in modo tale che la stessa serie casuale di punti viene utilizzato non importa quanto le costanti e sono molteplici. Tuttavia, quando si preme il pulsante quotrandomizequot, una nuova serie casuale viene generato e utilizzato. Mantenendo la serie casuale identico permette all'utente di vedere esattamente gli effetti sulla serie ARMA delle variazioni delle due costanti. La costante è limitata a (-1,1) a causa divergenza dei risultati della serie ARMA quando. La dimostrazione è solo un processo di primo ordine. termini AR supplementari permetterebbero serie più complesse da generare, mentre i termini MA aggiuntivi aumenterebbero la levigatura. Per una descrizione dettagliata dei processi ARMA, si veda, ad esempio, G. di sicurezza, G. M. Jenkins, e G. Reinsel, Tempo Analisi Serie: Previsione e controllo. 3a ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994. RELATIVA LINKS2.1 modello a media mobile (modelli MA) modelli di serie tempo noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi eo movimento termini medi. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. To satisfy a theoretical restriction called invertibility . we restrict MA(1) models to have values with absolute value less than 1. In the example just given, 1 0.5 will be an allowable parameter value, whereas 1 10.5 2 will not. Invertibility of MA models An MA model is said to be invertible if it is algebraically equivalent to a converging infinite order AR model. By converging, we mean that the AR coefficients decrease to 0 as we move back in time. Invertibility is a restriction programmed into time series software used to estimate the coefficients of models with MA terms. Its not something that we check for in the data analysis. Additional information about the invertibility restriction for MA(1) models is given in the appendix. Advanced Theory Note . For a MA(q) model with a specified ACF, there is only one invertible model. The necessary condition for invertibility is that the coefficients have values such that the equation 1- 1 y-. - q y q 0 has solutions for y that fall outside the unit circle. R Code for the Examples In Example 1, we plotted the theoretical ACF of the model x t 10 w t . 7w t-1 . and then simulated n 150 values from this model and plotted the sample time series and the sample ACF for the simulated data. The R commands used to plot the theoretical ACF were: acfma1ARMAacf(mac(0.7), lag. max10) 10 lags of ACF for MA(1) with theta1 0.7 lags0:10 creates a variable named lags that ranges from 0 to 10. plot(lags, acfma1,xlimc(1,10), ylabr, typeh, main ACF for MA(1) with theta1 0.7) abline (h0) adds a horizontal axis to the plot The first command determines the ACF and stores it in an object named acfma1 (our choice of name). The plot command (the 3rd command) plots lags versus the ACF values for lags 1 to 10. The ylab parameter labels the y-axis and the main parameter puts a title on the plot. To see the numerical values of the ACF simply use the command acfma1. The simulation and plots were done with the following commands. xcarima. sim(n150, list(mac(0.7))) Simulates n 150 values from MA(1) xxc10 adds 10 to make mean 10. Simulation defaults to mean 0. plot(x, typeb, mainSimulated MA(1) data) acf(x, xlimc(1,10), mainACF for simulated sample data) In Example 2, we plotted the theoretical ACF of the model x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2 . and then simulated n 150 values from this model and plotted the sample time series and the sample ACF for the simulated data. The R commands used were acfma2ARMAacf(mac(0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0:10 plot(lags, acfma2,xlimc(1,10), ylabr, typeh, main ACF for MA(2) with theta1 0.5,theta20.3) abline (h0) xcarima. sim(n150, list(mac(0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main Simulated MA(2) Series) acf(x, xlimc(1,10), mainACF for simulated MA(2) Data) Appendix: Proof of Properties of MA(1) For interested students, here are proofs for theoretical properties of the MA(1) model. Variance: (text (xt) text (mu wt theta1 w ) 0 text (wt) text (theta1w ) sigma2w theta21sigma2w (1theta21)sigma2w) When h 1, the previous expression 1 w 2. For any h 2, the previous expression 0. The reason is that, by definition of independence of the w t . E( w k w j ) 0 for any k j. Further, because the w t have mean 0, E( w j w j ) E( w j 2 ) w 2 . For a time series, Apply this result to get the ACF given above. An invertible MA model is one that can be written as an infinite order AR model that converges so that the AR coefficients converge to 0 as we move infinitely back in time. Well demonstrate invertibility for the MA(1) model. We then substitute relationship (2) for w t-1 in equation (1) (3) (zt wt theta1(z - theta1w ) wt theta1z - theta2w ) At time t-2 . equation (2) becomes We then substitute relationship (4) for w t-2 in equation (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21(z - theta1w ) wt theta1z - theta12z theta31w ) If we were to continue (infinitely), we would get the infinite order AR model (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots ) Note however, that if 1 1, the coefficients multiplying the lags of z will increase (infinitely) in size as we move back in time. To prevent this, we need 1 lt1. This is the condition for an invertible MA(1) model. Infinite Order MA model In week 3, well see that an AR(1) model can be converted to an infinite order MA model: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w ) This summation of past white noise terms is known as the causal representation of an AR(1). In other words, x t is a special type of MA with an infinite number of terms going back in time. This is called an infinite order MA or MA(). A finite order MA is an infinite order AR and any finite order AR is an infinite order MA. Recall in Week 1, we noted that a requirement for a stationary AR(1) is that 1 lt1. Lets calculate the Var( x t ) using the causal representation. This last step uses a basic fact about geometric series that requires (phi1lt1) otherwise the series diverges. Navigation